מעגליות | לרכישה באינדיבוק
מעגליות

מעגליות

שנת הוצאה: 01/2016
מס' עמודים: 180
איך תרצ/י את הספר שלך?
- 74
- 39

תמיד חשבתי שאני לא החלטי, אבל עכשיו אני כבר לא כל כך בטוח.
החשיבה המעגלית אחראית לכמה מן המהפכות המתמטיות החשובות של המאה העשרים. היא גם המקור לאחדות מהמבוכות הקדומות ביותר בתולדות החשיבה האנושית.
הספר סוקר שלוש פריצות דרך מדעיות שנולדו מן המעגליות: ההבנה שיש אינסופים גדולים ויש גדולים יותר; משפט גדל, האומר שלא כל דבר נכון אפשר להוכיח, והבחנתו של טיורינג שאין תכנית מחשב פותרת-כל. בצד אלה מתוארת יכולתה יוצאת הדופן של המעגליות לתעתע בחשיבה ולגרום לנו להאמין בבלתי אפשרי.
מעגליות הוא סיור פוקח עיניים מאחורי הקלעים של עולם המדע והפילוסופיה. תמצאו בו חתולים שרודפים אחרי זנבותיהם, נוכלים בתחפושות וגם הוכחה ניצחת לקיומה של המפלצת מלוך נס. תפגשו בו גם את צדה המשעשע של המעגליות ותשובה לחידה העתיקה: מהו הומור.
מה יותר גרוע – בורות או אדישות? לא יודע, אבל מה זה משנה?

"במשפט הזה יש שתי טעויוט". נכון, או לא? במשפט יש רק טעות כתיב אחת, ולכן יש בו טעות נוספת – במניית הטעויות: יש רק אחת, לא שתיים. אבל אם כך, אין טעות במניית הטעויות — באמת יש שתיים. אם כן, יש רק טעות אחת… ואידך זיל גמור (או שלא).

 

עוד על ספר זה

חוות דעת

אין עדיין חוות דעת.

היה הראשון לכתוב סקירה “מעגליות”

בקרוב…

חתולים וזנבות

 

לפני שאני מתחיל לדבר, אני רוצה להגיד משהו.

(פתיח לנאום)

 

יום אחד חזרה בתי הקטנה מביקור אצל רופא השיניים והסבירה לי: "אתה יודע מה צריך לעשות כדי שזריקת ההרדמה לא תכאב? לתת לפניה זריקת הרדמה." כמובן, כדי שהזריקה הזאת לא תכאיב, נחוץ להקדים גם לה זריקה…

משעשע? אכן. אבל למרבה הפלא, לדרך החשיבה הזאת יש גם צדדים רציניים. קוראים לה "מעגליות", או בשם אחר "התייחסות עצמית", והיא גיבורת הספר הזה. סיפור זריקת ההרדמה הוא דוגמה למטלה מעגלית, כזו שביצועה תלוי בעובדה שהיא כבר נעשתה. דוגמה מוכרת אחרת היא העצה שנותנים למי שנפל לבור — רוץ, הבא סולם, וכך תוכל לצאת. ניסיון לבצע משימה כזו יוצר מעגל קסמים, או בשם האנגלי, הקולע יותר, vicious circle — "מעגל מרושע". את הרשעות של מעגל כזה חווה, למשל, זר שמבקש להשיג כרטיס אשראי באמריקה. לשם כך עליו לספק תחילה הוכחות לעמידה בתשלום חובות, והדרך הכמעט יחידה לעשות זאת היא להציג בעלות על כרטיס אשראי.

חתול שרודף אחר זנבו, אדם שזקוק לזוג משקפיים כדי למצוא את הזוג שאיבד, מי שנדחה בחיפוש עבודה ראשונה מפאת חוסר ניסיון — כל אלה מנסים לבצע משימות מעגליות. רובם ייכשלו. רק הברון מינכהאוזן יודע לחלץ את עצמו ואת סוסו מביצה, במשיכה בשערות ראשו. "אין הבור מתמלא מחולייתו", ניסחו זאת חז"ל, וארכימדס ביטא אותו רעיון ב"תנו לי נקודת משען ואזיז את כדור הארץ״. בכך לא רק התפאר בכוחם של המנופים המופלאים שהמציא, אלא גם הסביר שאין נקודת משען שממנה תוכל להרים את עצמך.

משימות מעגליות מסוג אחר הן אלה ש"שמות רגל" לעצמן, מכיוון שהן מתערבות בתוצאה שלהן. הוראת הצלם "כולם לחייך!" גורמת בדרך כלל לאפקט ההפוך. סקרים שמתפרסמים לפני בחירות עשויים לטרוף את הקלפים ולהביא לתוצאה מנוגדת לזו שהם עצמם ניבאו. במלכוד 22 של ג'וזף הלר יכולים הטייסים, גיבורי העלילה, להשתחרר ממשימות הפצצה אם יוכיחו אי־שפיות, אבל סעיף 22 בספר החוקים קובע שבקשה להשתחרר היא סימן לשפיות. "אל תִשעה לעצתי" היא עצה שקצת קשה לפעול על פיה.

כאשר אין מבחינים בה, פגיעתה של המעגליות יכולה להיות רעה. למשל, אם תניחו שההגדרה "המספר המוגדר בביטוי זה ועוד 1" תקפה ומצביעה על מספר אמיתי, תקבלו אבסורד: מספר ששווה לעצמו ועוד 1. הביטוי "אביו של נפוליאון בונפרטה" מגדיר אדם מסוים. ה"הגדרה" "אביו של האדם שמוגדר בזאת", לעומת זאת, מפנה לאדם המוגדר עצמו, ואם תאמינו שאכן קיים אדם כזה, תקבלו אדם שהוא אבא של עצמו.

בדוגמאות האלה המעגליות שקופה וגלויה, ואף אחד לא ייפול ברשתה. אבל יש שהיא מצליחה להסוות את עצמה ולחדור את מסננת הביקורת שלנו, ואז היא מולידה אבסורדים. זהו הפן האפל, החתרני ופורע הסדר של המעגליות, שלו יוקדש חלקו הראשון של הספר. יסופר שם על תנינים חוטפי תינוקות, על הסכמים שאינם ניתנים לביצוע, על הוכחות לקיומו של אלוהים (או, לצורך העניין, של המפלצת מלוך נס), ועל שני פרדוקסים פילוסופיים מפורסמים שמקורם במעגליות — בעיית חופש הרצון ובעיית הגוף־נפש.

פנים מועילים של המעגליות מתגלים כאשר היא אינה פועלת מאחורי הקלעים אלא נחשפת לאור היום. לעתים הטבע בכבודו ובעצמו מציב לנו משימות מעגליות, ובמקרה כזה כדאי לדעת שהן אינן ניתנות לביצוע. חלקו השני של הספר יוקדש לצד זה של המעגליות. יסופר בו על שלוש תגליות מתמטיות שנולדו מרעיונות שמבוססים על מעגליות. אחת מהן היא משפט משנת 1878 של המתמטיקאי הגרמני גיאורג קנטור, שאומר כי אין בעולם קבוצה גדולה ביותר — לכל קבוצה יש קבוצה גדולה ממנה. נפגוש בניצחונה המרשים ביותר של המעגליות — משפטו של קורט גֶדֶל מ־1930, שעל פיו לא כל דבר נכון אפשר להוכיח. ולבסוף נספר על תגליתו של אלן טיורינג מ־1936, שאין מכונה יודעת־כול, ובלשון ימינו: אין תוכנית מחשב שמסוגלת לפתור כל בעיה. טיורינג הראה שלו היתה קיימת תוכנית כזאת, היא היתה מצליחה ליצור בעיה שהיא עצמה לא יכולה לפתור, כשם שאלוהים כול־יכול מסוגל לברוא סלע כה כבד, שהוא עצמו אינו יכול להרימו.

שני הפנים של המעגליות אינם מנותקים זה מזה. הפן פורע הסדר והפן המועיל משתרגים זה בזה ומשפיעים זה על זה. פרדוקסים הם מקור השראה להוכחות מתמטיות, וגם להפך — הוכחות מתגלגלות והופכות לפרדוקסים. הצד האפל הוא מין תמונת תשליל של הצד המואר, ומתמונות תשליל אפשר ללמוד משהו. יותר מזה, יש להן חן מיוחד משלהן.

למתעניינים במיוחד הוספתי בסוף הספר כמה פרקים למיטיבי לכת. יובהרו שם נקודות טכניות ותובנות מתמטיות שדורשות העמקה.

ולבסוף, אי־אפשר לעשות צדק עם המעגליות בלי להזכיר את צדה המלבב — יכולתה לשעשע. היא מקור לא אכזב לבדיחות, ומתכון בדוק להומור:

תמיד חשבתי שאני לא החלטי, אבל עכשיו אני כבר לא כל כך בטוח.

מה כתוב במילון תחת הערך "מעגליות"? — עיין ערך "מעגליות".

החזיר בא לאלוהים ומתלונן: כל דבר רע מייחסים לי. לכלוך, עצלות, אכילה גסה. למה דווקא לי? אלוהים מגרד בפדחתו ואומר — באמת, חזירות.

לקראת סיום הספר אספר על ההומור המעגלי, ואנסה לפענח מה יש בהן בבדיחות מעגליות שמצחיק אותנו כל כך.

 

 

רון אהרוני הוא פרופסור למתמטיקה בטכניון. פעיל שנים רבות בזירה של החינוך המתמטי בישראל.

ספריו הקודמים: חשבון להורים ואלגברה להורים, על חינוך מתמטי (שלתפיסתו מבוסס על הבנת המקצוע ולא על רעיונות חינוכיים חדשניים); החתול שאיננו שם, ספר לא פילוסופי על פילוסופיה; מתמטיקה, שירה ויופי, שבו הוא מנסה לפצח את הדמיון בין התחומים; והאדם מנתק משמעות, על טכניקות משותפות לשירה ולבדיחות. מתגורר בטבעון, נשוי ואב לשלושה.

X